Какое-то время назад нам довелось решать задачу по физике об упругом столкновении шаров одинаковой массы, так называемую задачу о столкновении биллиардных шаров. Данная статья посвящена элегантному методу решения, разработанному одним из наших решающих. Обращаем внимание, что в данной статье принципиально рассматривается задача об упругом столкновении шаров!

В таких задачах обычно требуется нахождение скоростей шаров после упругого удара и/или углы, на которые шары отклоняются после удара. Для ответа на вопрос задачи приходится находить угол отклонения одного из шаров, зная угол отклонения другого шара, или нахождение угла между направлением шаров после соударения.

Покажем, как очень легко находится угол разлета шаров после упругого столкновения.

Для этого запишем закон сохранения импульса в векторной форме (1) и закон сохранения энергии (2).

После этого сокращаем 2 в знаменателе, и получаем систему уравнений (3).

В задаче о биллиардных шарах массы шаров равны, а скорость одного из шаров до соударения равна нулю (4). В этом случае система уравнений переписывается следующим образом (5). После сокращения на массу получим (6).

Теперь возводим обе части первого уравнения в квадрат, учитывая (7) получаем (8): Где альфа угол между векторами скорости после соударения.

Вычитаем второе уравнение из первого и окончательно получаем (9).

Это равенство возможно в 2 случаях:

1. Центральный удар. Первый шар останавливается, а второй двигается в том же направлении и с такой же скоростью как первый шар до удара.
2. Не центральный удар. Косинус угла разлета равен нулю, угол между направлением шаров в этом случае равен 90 градусов.

Таким образом, получаем замечательный вывод, что при нецентральном упругом ударе шаров одинаковой массы, они всегда разлетаются под углом 90 градусов.

Этот результат очень удобно использовать при решение задач по физике на упругое соударение, т.к. обычно угол отклонения одного из шаров дан, сразу находим значение угла отклонения второго шара, т.к. их сумма равна 90 градусов. После этого решение задачи сводится к элементарным вычислениям, вместо громоздких действий по решению квадратных уравнений.