Недавно был получен заказ №00089 на решение задачи по физке, связанный с нахождением радиуса кривизны траектории луча в среде с переменным коэффициентом преломления. Поиск по интернету, на удивление показал, что найти решение подобной задачи по физике не так просто. По этой причине, нам показалось полезным опубликовать решение подобной задачи.

Такие задачи встречаются в атмосферной оптике при расчете рефракции. Рефракция, это явление связанное с кажущимся изменением положения удаленных объектов. Именно из-за явление рефракции ответственно за возникновение верхних и нижних миражей.

Целью этой статьи является решени задачи по расчету радиуса кривизны траектории светового луча в среде с изменяющимся показателем преломления.

На рисунке представлено преломление луча, падающего на границу слоев с коэффициентом преломления n и n+dn. По определению, радиус кривизны равен отношению длины дуги, к разнице углов между касательными в начале и конце дуги. В нашем случае начало дуги это точка А а конец - точка С. Касательной к дуге в точке А является падающий луч, а в точке С - преломленный луч. Формула (1) дает значение радиуса кривизны, с учетоммалости изменения угла при приломлении.

Формула (2) - закон Снеллиуса для преломления на границе. Раскрывая синус суммы, получаем формулу (3). Раскрывая скобки, и учитывая, что синус малого угла, равен значению угла, косинус малого угла равен 1, и пренебрегая членами более высокого порядка (произведение дифференциала коэффициента преломления и дифференциала угла) получим выражение (4). После окончательных преобразований, получаем выражение (5).

Подставляем (5) в (1) получим окончательное выражение для радиуса кривизны луча в среде с изменяющимся коэффициентом преломления. Часто, требуется решить задачу о рефракции для горизонтальных лучей. В этом случае угол падения близок к 90 градусам, и, следовательно, синус угла падения близок к 1.